En esta oración:  «Pasajeros llegando en el vuelo 344 de Buenos Aires saldrán por la puerta 3». ¿Está correcto el uso de «llegando» en esta oración?

En este ejemplo, debió decirse que llegan. Hay dos excepciones, se trata de los gerundios lexicalizados hirviendo y ardiendo: Se añade medio litro de agua hirviendo y tres cucharadas de miel. Marcaban las reses con un hierro ardiendo.

Por otra parte, los verbos de percepción (ver, sentir, oír, escuchar, mirar, observar, percibir…) admiten gerundios predicativos de complemento directo. Ejemplos: Desde aquí se ve a los niños jugando en el parque. Les gusta observar los pájaros alimentando a sus crías.