Antier
La palabra antier es una forma coloquial de referirnos al día que transcurrió antes de ayer. Aunque la misma figura en el diccionario de la Real Academia Española, se aclara que se trata de un término coloquial, por lo que preferiblemente cuando se trata de textos escritos que sean formales deben usarse otras formas que veremos más adelante en lugar de antier.

Anteayer
Anteayer es una locución adverbial, es decir que combina las palabras “antes de ayer” en un solo vocablo. Por tanto, anteayer es la forma correcta que debemos usar cuando nos queremos referir al día que precede al de ayer, en lugar de antier un modo coloquial.

Antes de ayer
Antes de ayer también es correcto y puede usarse en textos formales, pero al existir una locución que abrevia este grupo de palabras lo más usual es utilizar anteayer.